que es un vector

Índice

Definición de un vector
Cómo escribir un vector
Cómo encontrar componentes de un vector
Cómo representar vectores en el sistema de coordenadas cartesianas
Cómo encontrar la magnitud de un vector
¿Qué son los vectores unitarios?

Definición de un vector

Un vector es una cantidad con magnitud (tamaño) y dirección. Geométricamente, un vector se puede representar mediante un segmento de línea dirigido, cuya dirección apunta en la dirección del vector y cuya longitud es proporcional a la magnitud del vector.

Cómo escribir un vector

Un vector se puede escribir de varias maneras. Un método es utilizar caracteres en negrita, por ejemplo $textbf{a}$ . También puede utilizar un subrayado ( $subrayado{a}$ ) o una flecha dibujada encima de una letra ( $vec{a}$ ). Si el símbolo de un vector se escribe sin estos, se toma como la magnitud del vector.

Dos vectores que tienen la misma longitud y dirección son iguales. En el siguiente diagrama, $vec{p} = vec{q}$ .

Los vectores que tienen el mismo tamaño y dirección son iguales

Cómo encontrar componentes de un vector

Para encontrar el componente de un vector en una dirección dada, dibuje una línea paralela a la dirección necesaria, que pase por el extremo de la "cola" del vector. Luego, dibuja una línea perpendicular desde la "nariz" del vector sobre esta línea. La componente del vector en la dirección dada es, entonces, la longitud de la línea desde la “cola” del vector hasta la línea perpendicular caída.

Por ejemplo, en el siguiente diagrama, el componente del vector $vec{a}$ a lo largo de $X$ -eje es $hacha$ y el componente a lo largo del $y$ -eje es $sí$ .

Componentes de vectores

De la trigonometría tenemos:

$a_x = atextup{cos} theta$ y,

$a_y = atextup{cos} (90^o-theta) = atextup{sen} theta$

Generalmente, si un vector con magnitud $a$ hace un ángulo $theta$ a una dirección dada, entonces la componente del vector a lo largo de esa dirección es $atextup{cos}theta$ y la componente del vector en la dirección perpendicular a esa dirección es $atextup{pecado}theta$ .

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Ejemplo

Un avión despega con una velocidad de 253 km h^-1formando un ángulo de 15^o a la pista Suponiendo que el Sol brilla directamente sobre su cabeza, encuentre la velocidad de la sombra del avión a lo largo de la pista.

La velocidad de la sombra es la componente de la velocidad del avión a lo largo de la pista. Como el avión viaja en un ángulo de 15^o a la pista, la velocidad de la sombra es entonces $253timestextup{cos}15^o=244$ kmh^-1.

Por el contrario, si se conocen los componentes de un vector a lo largo de dos direcciones perpendiculares, podemos usar trigonometría simple para encontrar el ángulo que forma el vector a lo largo de una de las direcciones, y también podemos calcular el tamaño del vector original.

Ejemplo

Se empuja una cortadora de césped por el suelo con una fuerza $vec{F}$ ejercido a lo largo del mango. Las componentes vertical y horizontal de la fuerza son 30,6 N y 25,7 N respectivamente. Encuentre a) el tamaño de la fuerza $vec{F}$ y b) el ángulo $theta$ que el cortacésped hace con el suelo.

Componentes de vectores - Ejemplo

En primer lugar, para encontrar el tamaño de la fuerza, usamos el teorema de Pitágoras:

$F=sqrt{30.6^2+25.7^2}aprox. sqrt{1600}aprox. 40$ NORTE.

El ángulo $theta$ es dado por $theta =textup{tan}^{-1}left (frac{30.6}{25.7}right )approx 50^o$

Cómo representar vectores en el sistema de coordenadas cartesianas

Si las componentes de un vector $vec{a}$ a lo largo de $X$ , $y$ y $z$ los ejes son $hacha$ , $sí$ y $Arizona$ respectivamente, el vector se puede escribir como $vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$ .

Componentes vectoriales en coordenadas cartesianas 3D

Cómo encontrar la magnitud de un vector

Magnitud se refiere al tamaño del vector, sin tener en cuenta su dirección. La magnitud de un vector $vec{a}$ se escribe como $izquierda|vec{a}derecha|$ . Si la carta se escribe simplemente como $a$ esto también se toma para indicar la magnitud del vector.

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Si un vector $vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$ entonces su magnitud $izquierda|vec{a}derecha| = sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2+{a_z}^2}$ .

Ejemplo

El vector de campo eléctrico en un punto está dado por $vec{E} = (-0.8, 2.3,1.5)$ CAROLINA DEL NORTE^-1. Encuentre la magnitud del campo eléctrico.

$izquierda|vec{E}derecha| = sqrt{{(-0.8)}^2+{2.3}^2+{1.5}^2} aprox. 3$ CAROLINA DEL NORTE^-1.

¿Qué son los vectores unitarios?

A vector unitario es un vector con una magnitud de 1 unidad. Los vectores unitarios a menudo se escriben con un 'sombrero' sobre la letra. p.ej $hat{a}$ . El vector unitario a lo largo de la dirección de un vector $vec{a}$ Se define como:

$hat{a} =frac{vec{a}}{left|vec{a}right|}$

En particular, en el sistema de coordenadas cartesianas, los vectores unitarios a lo largo de la $X$ , $y$ y $z$ los ejes se escriben como $que{yo}$ , $hat{j}$ y $hat{k}$ respectivamente.

Usando estos vectores unitarios, un vector en el sistema de coordenadas cartesiano tridimensional puede escribirse como una suma de 3 vectores a lo largo de la $X$ , $y$ y $z$ direcciones. Esto se hace tomando componentes del vector a lo largo $X$ , $y$ y $z$ ejes, y multiplicando cada componente por el vector unitario del eje correspondiente.

Por ejemplo, el vector $vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$ Se puede escribir como $vec{a}=a_xsombrero{i}+a_ysombrero{j}+a_zsombrero{k}$ .

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Maria Fernanda, licenciada en Biología Molecular y Bioquímica, es Bióloga Molecular y tiene un amplio y profundo interés en el descubrimiento de cosas relacionadas con la naturaleza.

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