¿Cuál es la diferencia entre la mecánica lagrangiana y la hamiltoniana?

El principal diferencia entre la mecánica lagrangiana y la hamiltoniana es que la mecánica lagrangiana se trata de la diferencia entre las energías cinéticas, mientras que la mecánica hamiltoniana se trata de la suma de las energías cinética y potencial.

La mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana son dos formulaciones diferentes de la mecánica clásica que describen el movimiento de partículas o sistemas de partículas.

¿Qué es la mecánica lagrangiana?

La mecánica lagrangiana es un formalismo matemático utilizado para describir el movimiento de partículas o sistemas o partículas en la mecánica clásica. La formulación lagrangiana se basa en el principio de mínima acción, que establece que el movimiento de una partícula es tal que la acción definida como la integral del lagrangiano en el tiempo se minimiza.

Además, en la mecánica lagrangiana, la cantidad fundamental que describe la física de un sistema es la lagrangiana, que es función de la posición, la velocidad y el tiempo de la partícula. El Lagrangiano se define como la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial del sistema. Las ecuaciones de movimiento obtenidas a partir de la formulación lagrangiana se denominan ecuaciones de Euler-Langrange.

Ventajas de la Mecánica Lagrangiana

Hay muchas ventajas de la formulación lagrangiana de la mecánica sobre el enfoque newtoniano. Primero, nos permite describir el movimiento de un sistema con una sola función escalar, la langrangiana, en lugar de depender de múltiples ecuaciones vectoriales. En segundo lugar, proporciona una forma sistemática de incorporar restricciones en las ecuaciones de movimiento. El enfoque lagrangiano nos permite tener en cuenta estas restricciones mediante la introducción de términos adicionales en el lagrangiano.

Además, otra ventaja de la formulación lagrangiana es que es más adecuada para problemas que involucran coordenadas generalizadas. El enfoque lagrangiano también se puede extender a sistemas con múltiples partículas. Además, se puede ampliar para incluir fuerzas externas y fuerzas no conservativas como la fricción o la resistencia del aire. En este caso, el lagrangiano se modifica para incluir estas fuerzas y las ecuaciones de movimiento resultantes tienen en cuenta sus efectos sobre el sistema.

Una aplicación importante de la mecánica lagrangiana es en el estudio de la teoría de campos clásica, donde el lagrangiano ayuda a describir el comportamiento de campos como el campo electromagnético o el campo gravitatorio. También es útil en los campos de la ingeniería, la física, la mecánica celeste y la mecánica cuántica. Robótica, análisis estructural y teoría de control. El enfoque lagrangiano ayuda en el diseño de sistemas de control para robots y otros dispositivos mecánicos, así como en el análisis del movimiento de satélites y naves espaciales.

¿Qué es la mecánica hamiltoniana?

La mecánica hamiltoniana se basa en el concepto de energía. Se basa en el concepto del hamiltoniano, que es una función que describe la energía total de un sistema físico. El hamiltoniano es una combinación de la energía cinética y la energía potencial del sistema y normalmente se denota con el símbolo H.

Matemáticamente, el hamiltoniano se define como,

H(p, q) = T(p) + V(q)

Donde p y q son vectores que representan la posición y el momento del sistema, respectivamente. T(p) es la energía cinética del sistema y V(q) es la energía potencial.

Una característica clave de la mecánica hamiltoniana es que proporciona una forma sistemática de analizar las simetrías y las leyes de conservación de los sistemas físicos. Las ecuaciones hamiltonianas tienen varias simetrías importantes que reflejan la estructura subyacente del sistema físico.

Una de las principales ventajas de la mecánica hamiltoniana es que proporciona una forma natural de describir la evolución de un sistema físico a lo largo del tiempo. En particular, la ecuación de movimiento hamiltoniana proporciona un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen la evolución temporal de la posición y el momento del sistema. A estas ecuaciones las llamamos ecuaciones hamiltonianas.

La mecánica hamiltoniana es útil en los campos de la mecánica celeste, la mecánica cuántica, la mecánica estadística y la mecánica de fluidos.

Similitudes entre la mecánica lagrangiana y hamiltoniana

• Ambos marcos se basan en el principio de mínima acción.
• Ambos ayudan en los campos de la mecánica celeste y la mecánica cuántica.

Diferencia entre la mecánica lagrangiana y hamiltoniana

Definición

La mecánica lagrangiana es un formalismo matemático para describir el movimiento de partículas o sistemas o partículas en la mecánica clásica, mientras que la mecánica hamiltoniana se basa en el concepto del hamiltoniano, que es una función que describe la energía total de un sistema físico.

Lo esencial

La mecánica lagrangiana se trata de la diferencia entre las energías cinéticas, mientras que la mecánica hamiltoniana se trata de la suma de las energías cinética y potencial.

Variables que describen el sistema físico

Lagrangian usa la posición y la velocidad del sistema, mientras que la mecánica hamiltoniana usa el impulso y la posición del sistema.

Ventajas

Además, la mecánica lagrangiana proporciona una forma sistemática de describir la evolución de un sistema físico a lo largo del tiempo y es más adecuada para problemas que involucran coordenadas generalizadas. Por otro lado, la mecánica hamiltoniana proporciona una forma natural de analizar las simetrías y leyes de conservación del sistema y ayuda a analizar el comportamiento de sistemas físicos complejos como los sistemas caóticos o impredecibles.

Aplicaciones

La mecánica lagrangiana se utiliza en los campos de la ingeniería, la física, la mecánica celeste y la mecánica cuántica. Robótica, análisis estructural y teoría de control, mientras que la mecánica hamiltoniana se utiliza en los campos de la mecánica celeste, la mecánica cuántica, la mecánica estadística y la mecánica de fluidos.

Conclusión

La mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana son dos formulaciones diferentes de la mecánica clásica que describen el movimiento de partículas o sistemas de partículas. La principal diferencia entre la mecánica lagrangiana y hamiltoniana es que la mecánica lagrangiana se trata de la diferencia entre las energías cinéticas, mientras que la mecánica hamiltoniana se trata de la suma de las energías cinética y potencial.

Referencia:

1. “Mecánica Lagrangiana.” brillante.org
2. “Mecánica hamiltoniana.” Wikipedia. Fundación Wikipedia.

Imagen de cortesía:

1. “Puntos de Lagrange simples” Por Xander89 – Archivo:Lagrange_points2.SVG (CC POR 3.0) a través de Commons Wikimedia
2. “Óptica Hamiltoniana-Refracción” Por Trabajo propio – Trabajo propio (CC BY-SA 3.0) a través de Commons Wikimedia