Cómo calcular la probabilidad binomial

La distribución binomial es una de las distribuciones de probabilidad elementales para variables aleatorias discretas utilizadas en la teoría de la probabilidad y la estadística. Se le da el nombre porque tiene el coeficiente binomial que interviene en todos los cálculos de probabilidad. Pesa en el número de combinaciones posibles para cada configuración.

Considere un experimento estadístico en el que cada evento tenga dos posibilidades (éxito o fracaso) y pags probabilidad de éxito. Además, cada evento es independiente entre sí. Un solo evento de tal naturaleza se conoce como juicio de Bernoulli. Las distribuciones binomiales se aplican a secuencias sucesivas de ensayos de Bernoulli. Ahora, echemos un vistazo al método para encontrar la probabilidad binomial.

Cómo encontrar la probabilidad binomial

Si X es el número de éxitos de norte (cantidad finita) ensayos de Bernoulli independientes, con probabilidad de éxito pagsentonces la probabilidad de X éxitos en el experimento está dada por,

^norteC_X se llama coeficiente binomial.

X se dice que se distribuye binomialmente con parámetros pags y nortea menudo denotado por la notación Bin(notario público).

La media y la varianza de la distribución binomial se dan en términos de los parámetros norte y pags.

La forma de la curva de distribución Binomial también depende de los parámetros norte y pags. Cuando norte es pequeño, la distribución es aproximadamente simétrica para valores pags≈.5 rango y altamente sesgado cuando pags está en el rango 0 o 1. Cuando norte es grande, la distribución se vuelve más suave y simétrica con un sesgo notable cuando pags está en el rango extremo 0 o 1. En el siguiente diagrama, el eje x representa el número de intentos y el eje y da la probabilidad.

Cómo calcular la probabilidad binomial – Ejemplos

1. Si se lanza una moneda sesgada 5 veces seguidas y la probabilidad de éxito es 0.3, encuentre las probabilidades en los siguientes casos.

a) P(X=5) b) P(X) ≤ 4 c) P(X) < 4

d) Media de la distribución

e) Varianza de la distribución

De los detalles del experimento podemos deducir que las distribuciones de probabilidades son de naturaleza binomial con 5 intentos sucesivos e independientes con probabilidad de éxito de 0,3. Por lo tanto, n=5 y p=0,3.

a) P(X=5) = probabilidad de obtener éxitos (cara) en los cinco intentos

P(X=5) = ⁵C₅ (0.3)⁵ (1 – 0,3)^{5 – 5} = 1 × (0,3)⁵ × (1) = 0,00243

b) P(X) ≤ 4 = probabilidad de obtener cuatro o menos número de éxitos durante el experimento

P(X) ≤ 4 = 1-P(X=5) = 1-0,00243 = 0,99757

C) P(X) < 4 = probabilidad de obtener menos de cuatro éxitos

P(X) < 4 = [P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 1- [P(X=4) + P(X=5)]

Para calcular la probabilidad binomial de obtener solo cuatro éxitos (P(X)=4) tenemos,

P(X=4) = ⁵C₄ (0.3)⁴ (1 – 0,3)^5-4 = 5×0.0081×(0.7) = 0.00563

P(X) < 4 = 1 – 0,00563 – 0,00243 = 0,99194

d) Media = np = 5(0.3) = 1.5

mi) Varianza = np(1 – p) = 5(0.3)(1-0.3) = 1.05

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